¿De donde venimos y hacia donde vamos?

¿De donde venimos y hacia donde vamos? Empezamos el curso diciendo que tos los circuitos lineales tenían en su salida dos etapas o partes, una transitoria y una de permanente y explicábamos que nosotros nos centraríamos en la parte permanente y explicábamos el RPS (decíamos que la salida seria una función del mismo tipo que la excitación y que se mantendría la frecuencia y solo variaría la amplitud y o el desfase). Sabemos hacia donde vamos en los circuitos al RPS pero ¿de donde venimos?¿que pasa en esa etapa transitoria?¿cuanto tiempo dura?¿es relevante? Nos surgen muchas dudas y todas ellas se resolverán en la explicación del último tema de este curso.

Bien  entonces como íbamos enunciando al principio de curso debemos decir que la respuesta completa de un circuito lineal ante una excitacion arbitraria será una serie de varios sumandos que los podemos agrupar en dos categorías: la respuesta propia del circuito y la respuesta forzada  por la excitación.

   

La respuesta propia del circuito depende del  de como es el circuito tanto de su estructura como el tipo de elementos que la componen y los valores de estos

La respuesta forzada por la excitación tiene la misma forma que la excitación y con la misma frecuencia que la excitación solo cambia la amplitud y o el desfase. Es decir la respuesta del RPS.

El porque de estos nombre lo vemos ya en su definición propia es porque la respuesta solo depende de la naturaleza circuito en si siempre será la misma y la forzada depende de una excitación que nosotros imponemos nosotros la forzamos si cambiamos de excitación por ejemplo de sinusoidal a continua la respuesta forzada cambia la propia no.

En esta figuaras observamos que la parte verde sería la parte del RPS y sabemos que en la primera imagen la excitación era una sinusoidal de la misma frecuencia y en la segunda sabemos que la excitación era una fuente continua.

De acuerdo ya tenemos una remota idea de que es, pero ¿como consigo yo esos términos? Hemos dicho que la respuesta propia dependía del circuito ¿y que tiene la mayor información de un circuito? Efectivamente la función de red de ahí sacaremos sus términos. Veamos como.

Para ello necesitamos tener unos conocimientos de la transformada de Laplace. Lo que se busca cuando se hace una transformación (fasorial, logarítmica, Laplace, Fourier) es simplificar las cosas. P.S. Laplce consiguió cambiar la operación derivada en un producto por S i la integral en una división por S mediante una transformada que fue denominada con su apellido en honor suyo. 

Esta claro que nos viene muy bien esta propiedad de Laplace debido a que la mayoría de circuitos lineales tienen ecuaciones diferenciales.Pero nos invade la duda de que si ya tenemos el transformada fasorial ¿Por que queremos la tresnformada de Laplace? Porque mediante su anti transformada nos será más fácil encontrar la respuesta propia. 

¿Como realizamos la transformada de Laplace?

Su definición es la siguiente:

y con una breve demostración vemos lo que habíamos enunciado:

Si aplicamos la definición de la transformada a las funciones  elementales (objeto) podemos configurar una tabla que nos servirá para encontrar cualquier otra función

Entonces una vez tengamos la función de red es un cociente de polinomios que tiene unos polos y ceros   que ya introdujimos cuando explicamos Bode. La situación de esos polos y ceros en el diagrama de Bode nos determina la forma 

Dado este resumen podemos ver que hay dos tipos claros de circuitos los que están en el semiplano derecho su respuesta propia crece según el tiempo transcurre, y los semiplano izquierdo llega un momento en que se desvanece la respuesta propia. Así es que podemos clasificar los circuitos como estables e inestables. 

Los estables serán aquellos que tienen todos los polos el semiplano Izquierdo, por lo tanto su respuesta propia se desvanece conforme el tiempo aumenta y por lo tanto tienen la etapa transitoria y llegan al RPS. Ante una entrada acotada tienen una respuesta acotada.

Por contra los inestables serán aquellos que tienen un solo es necesario un polo en el semiplano derecho    , por lo tanto su respuesta propia crece conforme el tiempo transcurre. Y la respuesta nunca está acotada.Los circuitos inestables nunca conseguirán llegar al RPS   

Podemos recordar esto como si entramos en el metro y rozamos a alguien el pie y empieza a meternos una bronca y a medida que pasa el tiempo va chillando más y se va enfadando más.

Para saber si un circuito es estable o inestable podemos pasarle un test.

1 Si no hay fuentes controladas seguro que el circuito es estable. 

2 Que haya una fuente controlada no implica que sea inestable se deben buscar los polos entonces.

Entendido esto solo nos falta saber cuanto dura el transitorio. Pues esto lo determina la exponencial que mas tiempo tarde en extinguirse. Debemos introducir el concepto de constante de tiempo tao que es el inverso del factor de t de la exponencial. En ingeniería se considera despreciable cuando hay dos ordenes de magnitud por debajo así es que haciendo una tabla observamos que a los 4tao o 5 tao se considera extinguida la exponencial.

Hagamos un ejemplo:

si lo pensamos como

 calculamos su función de red

Obserbamos que Para k=3 nos queda un polinomio de segundo grado sin primer grado por lo tanto sus polos serán:

Es decir imaginarios puros por lo tanto su respuesta propia será un sinusoide. Por lo tanto hemos construido un generador.

Fianlemte esmentar que se pueden analizar los circuitos de forma algorítmica que es lo que hacen los programas de simulación como PSpice.

Fantasmas y espectros.

Con el trazado de Bode hemos llegado a un punto que podemos caracterizar a cualquier circuito lineal  con una representación gráfica sencilla. Podríamos pensar que que ya lo sabemos todo, pero debemos recordar que nuestro punto de partida era centrarnos en analizar circuitos excitados con funciones sinusoidades. Pues bien,  ¿Que pasa si la señal no es sinusosidal? En este apartado lo descubriremos.

Para empezar, tenemos que decir que podremos analizar cualquier circuito lineal con una excitación periódica. Para conseguirlo vamos a utilizar un resultado de el matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que que descubrió que cualquier función periódica se puede descompone en una serie de funciones trigonométricas llamada Series de Fourier. Para entender esto podemos hacer un símil de esta descomposición de una función periódica en suma de sinusoides con  la descomposición de la luz blanca mediante un prisma.

Captada la idea passemos a lo que nos inteeresa a los circuito, pero antes de esto debemos comprobar si es verdad esto que nos dice Fourier tras una fácil demostración observamos que el error cuadrático medio es muy pequeño y lo podemos hacerlo tan pequeño como queramos simplemente tomando tantos mas términos del desarrollos. 

Pensemos ya en circuitos, que significará aplicar esto de forma circuital,  pues bien, una función arbitraria seria un generador, pues bien se descompondrá  en una serie de generadores y una fuente de tensión continua. 

Entonces como queda esto de Fourier en los circuitos, queda una parte continua un coseno de cierta amplitud y de la misma frecuencia que la entrada más otro coseno de amplitud más pequeña que la anterior y de dos veces la frecuencia de la excitación, más otro coseno de menos amplitud que la anterior y de tres veces la frecuencia de entrada y así sucesivamente.

Llamaremos armónico a cada una de las diferentes sinusoides que sumamadas obtenemos la función original de la cual hemos hecho la serie de Fourier.

Llamaremos armónico fundamenta auqel que tiene la misma frecuencia que el de la excitación

Pasemos a ver Fourier des de otro punto de vista.  El siguiente paso es lo que llamamos el procesado frecuencial.

Si recordamos lo que era una sinusoide es decir una función que tiene tres características que nos aportan información (Amplitud, Pulsación y Desfase) así que podemos representar la función en lo que llamamos representación espectral, es decir, dos ejes, el vertical será la amplitud y la frecuencia el horizontal.

Vamos a ver un ejemplo, una función cuadrada de amplitud de Vm i período To 

                                                                           

Así es como encontramos la serie de Fourier de una señal periodica, este procedimiento lo llamaremos Desarrollo de la Serie de Fourier (DSF) y nos podriamos crear un biblioteca tal como esta:

Entendido esto como reconducimos esto a nuestro terreno. Pues bien cuando tenemos un circuito excitado por una función periódica primero hacemos el DSF de ésta después obtenemos la función de red H(S) conseguimos el Trazado de Bode del circuito y simplemente para obtener en DSF de la salida será su Espectro de Amplitud con la mismas frecuencias que la entrada y   la amplitud variará de la siguiente forma: la amplitud de la excitación  a la frecuencia deseada multiplicando por el módulo de la función de red a esa frecuencia. Y su Espectro de fases mantendrá las frecuencias de la excitación y el valor de desfase a la frecuencia deseada será el desfase de la  la excitación menos el desfase de la función de red a esa frecuencia.

Pero cuando sabemos cuando parar Fourier nos dice que si queremos más precisión que pongamos más términos. Pues bien en ingeniería siempre se considera despreciable dos ordenes de magnitud así es como cuando suceda que el armónica superior estas a dos ordenes de magnitud lo consideraremos nulo. Bien, si pasáramos el espectro de amplitud en dBµV consideraremos nulo cuando halla 30dBµV de diferencia.

Hagamos un ejemoplo real 

Pues bien la exicitacion es una función cuadrada de 10V de amplitud primero vamos a hacer el DSF que ya hemos hecho su DSF general. Por lo tanto si sustituimos es:

Construimos el trazado de Bode que nos lo sabemos de memoria porque es un filtro paso bajo y obtenemos Vo tal y com dijimos anteriormente.

Pensondo un poco podemos pensar que todos los circuitos linaeles del mundo tendrán un comportamiento filtro paso bajo debido a que eliminaran más o menos las amplitudes de las frecuencias.

El esprctro de amplitud también se puede expresar en dBµV. Entonces recordando que dBµV+GdB=dBµV obtener Vo se simplifica a obtener el DSF de Vg el trazado de Bode y para obtener Vo simplemente sumarle la ganancia en dB GdB.

Entendido este problema ya sabríamos resolver cualcuier circuito lineal excitado con una función periódica 

Finalmente nos quedaría introducir la relación señal-ruido entendiendo como señal aquel o aquellos armónicos de la tensión de entrada que queremos y ruido como la resta de armónico esta relación se expresa como

Esta relación sirve ara comprobar la calidad del proceso

Finalmente terminsar diciendo aplacaciones de lo que hemos aprendido con Fourier hemos descubierto que escondidas en todas las funciones periódicas hay una suma de una parte continua y una seré de senoides la primera de frecuencia la misma que la de la excitación y la siguiente dos veces esta frecuencia la tercera tres veces esta y así sucesivamente.

Entonces si sacoms rendimiento a esto podriamos obtener una senoide a partir de una cuadrada, para ello necesitariamos un circuito capaz de elimnar todas los harmonicos menos uno. Pensando un poco en seguida recordamos el filtro paso-banda, es decir un circuito que en su tazado de Bode sea 0 en los extremos menos en el armónico fundamental en que debe de haber un pico de resonancia, este circuito es posible gracia a un R y  LC en paralelo.

esmentar aunque no sea exactamente de circuitos linales que podriamos construir un conversor AC-DC simplemente añadiendo un diodo con eso conseguimos elimanr la parte negativa. Y muy sencillo con un filtro paso bajo eliminamos todos los armonicos que no queremos pero no lo podemos conectar directamente porque hay el diodo y se disiparía potencia así que necesitamos un seguidor de tensión en medio. Además como la tension continua estaria dividida por la mitad del periodo (PI) y queremos la tensión de pico simplemente añadir un amplificador no inversor de k=3.

Resumiendo Fourier nos permite reconducir todos los circuitos excitados con una función periódica a lo que habíamos estudiado del RPS¿cómo? Descomponiendo dicha función como una parte continua y una serie de sumas de sinusoides de amplitudes decrecientes es decir la primera (armónico fundamental) tiene amplitud superior a la siguiente senoide, y además el armónico fundamental tiene la misma frecuencia que la excitación, el siguiente armónico  dos veces esta y el tercer armónica tres veces la frecuencia de excitación. Esta descomposición queda reflejada en el espectro de amplitud y el de fase de una señal. Finalmente para comprobar la calidad de un circuito hemos aprendido la relación señal-ruido, 10 logaritmo del valor cuadrático medio de la señal entre el del ruido.

Las apariencias engañan

VEINTE VECES EL LOGARITMO DEL COCIENTE DE LA SAILDA ENTRE EL MODULO DE LA ENTRADA.
Como complicarnos la vida de esta forma puede llegar a simplificar las cosas y nos puede servir ¡Y no solo eso! sino que además, ¡Será una de las llaves del conocimiento de los circuitos lineales! Pero no nos avancemos, primero hacemos un repaso para poder avanzar. 

Recopilando venimos de aprender el concepto de función de red que caracteriza el comportamiento de un circuito al detalle, aprendimos que en el mundo real la mayoría de aparatos necesitan una potencia para su buen funcionamiento con esto introdujimos el concepto de potencia que nos llevo a ver las lineas de transmisión que permitía la conexión de elementos a largas distancias (fenómeno que viola las cotas donde se cumplían las leyes de Kirchhoff ) perdiendo muy poca potencia pero que solo eran validos en caso de que conectáramos una impedancia igual a la característica de la linea. Entonces se nos presentó el problema de que en el caso que no tuviésemos esa impedancia no servia, pero descubrimos el transformador capaz de convertir esa resistencia en la que nosotros deseáramos. 

Visto de donde veniamos volvemos a retomar la función de red, recordamos que era un cociente de polinimios que nos dava la relación entre la salida y la excitación de un circuito. Y que simplemente si queríamos Vo sabíamos que será una función del mismo tipo que la entrada una senoide porque estamos en RPS de amplitud el modulo de la excitación por el modulo de la función de red y el desfase de la salida será el desfase de la entrada menos el desfase de la función de red. Dicho esto si nos piden Vo a cierta frecuencia simplemente tenemos que sustituir en Vo por dicha frecuencia y obtendremos su valor. Pero y si te dijera que hay una forma más rápida e intuitiva de encontrarla. En este nuevo tema lo intentaremos explicar.

La idea principal será conseguir las curvas de respuesta frecuencial del circuito, es decir, representar gráficamente el modulo de la función de red  en función de la frecuencia y representar el argumento de la función de red en función de la frecuencia.

Por ejemplo el filtro paso bajo que tantos veces hemos explicado anlaizamos que a frecuencias elevadas  es decir mucho más altas que la frecuencia de corte 1/2πRC la salida era 0 y frecuencias altas el circuito dejaba la salida igual que la entrada. simplemente dando valores a la función vamos obteniendo el trazados, pero esto es un poco laborioso. Vamos a descubrir de hacerlo de una forma más rapida e int

  

Previo paso a esto necesitamos saber que para hacer un representación gráfica uno se sirve de escalas la más común es la escala lineal (relación matemática entre una cantidad física y el propio valor ) pero también hay otras escalas como por ejemplo la logarítmica que es la que vamos a utilizar y emplea el logaritmo de la cantidad física en lugar de la propia cantidad.

En esta representacion el intervales canvian y van en decadas (es decir las unidades van de 10 en 10 y no existe un 0 en el origen).Pues bien, ya podemos empezar.

Pues bien lo primero es aprender a representar la función de red en otro formato en lo que llamaremos diagrama de polos y ceros. Sencillamente este procedimiento consiste en descomponer el numerador y el denominador de la función de red en un producto de (s-a) siendo a raíz del polinomio. 

También incorporamos un detalle de notación a las raíces del denominador las llamaremos Ceros (Z) y las del denominador Polos (P).

Conseguido esto el siguiente paso es construir un plano complejo (solo recordar los raíces complejos siempre van acompañadas de su conjura) donde situaremos esos P con una X y Z con un 0 

Con esto en realidad estamos encontrado las frecuencias que llamaremos criticas en las cuales pasa algo interesante.Pongamos un ejemplo de esto:

Entendido esto, veamos como conseguir la tierra promesa de como conseguir la respuesta frecuencial del circuito de forma fácil e intuitiva. Para ello nos apoyaremos en un ingeniero, investigador e inventor llamado H.W.Bode. muy conocido en Telecomunicaciones y en sistemas de control que propuso el diagrama de Bode.

Bode nos propone representar veinte veces el logaritmo de la función de red (a lo que llamaremos ganancia del circuito y sus unidades son dB y se expresará así: GdB) respecto el logaritmo de la frecuencia. Con esta transformación consigue que la representación de la respuesta frecuencial del circuito se reduzca a un conjunto de lineas rectas. Si la GdB es positiva es que el circuito amplifica la tensión de entrada y por contra si es negativa atenúa.

Vamos a ver un ejemplo a ver si es verdad que se simplifican las cosas. ¿Que conseguimos obteniendo el trazado de Bode?Pues ahora lo veremos en el ejemplo: 

Supongamos que tenemos ya el trazado de Bode

Bien ya sabemos que es trazado de Bode y como es de útil y como nos servirña nos falta ver como construir-lo.

Podríamos afirmar que todas las funciones de red (que son cocientes de polinomios) las podíamos expresar de otra forma tal que la función se pudiese descomponer en esta serie de factores:

 Así que construyendo el trazado de Bode de estas pocas podremos hacer el trazado de Bode de cualcuier otro circuito sin necesidad de repetir el procedimiento de ahora sino identificando las partes de estas funciones elementales y gracias a la propiedad del logaritmo que el producto se convierte en suma sencillamente será sumar los trazados conocidos de estas funciones.

Vamos a ver el trazado de Bode de la primer factor.

 

En cuanto el desfase va ser ortra constante igual.

Veamos otro más interesante segundo factor.

Entonces su trazado de Bode será

Con una demostrcion sencilla se demuestra que el tercer factor  H(S)=KS es una recta de pendiente positivo 20dB/deca siguiendo el mismo procedimiento anterior. En este caso el desfase será una recta de -π/2

El Bode del cuarto factor ya es más interesante veámosla.

Y el desfase será: 

Por desgracia nuestra el trazado de Bode no es perfecto. Si  nos hemos fijado hemos estado buscando los circuitos asintomáticos cuando la frecuencia era muy superior a la de corte y muy inferior entonces estaremos de acuerdo que el máximo error estará en la frecuencia de corte. Entonces vamos a observar en realidad que error hay en la frecuencia de corte. Observemos si es importante.

Podemos concluir que hay un pequeño error de 3dB eso implica una H(s) multiplicada 0,707 eso se considera casi uno y que la tangencia con el trazado asintotico se produce muy rápidamente, por lo tanto Bode será una herramienta muy potente, útil, y con pocos errores.

Respecto a los trazados de fase no podemos decir lo mismo no va a ser una herramienta tan útil. 

En la siguiente imagen se presenta la respuesta frecuencial de un circuito tiene la función de red de la misma estructura que este factor fc=1kHz wc =2πfc 

Vamos a ver el quinto factor tambien muy parecido a este.

Con el argumento seguimos el mismo procedimiento.

Ya terminamos nos queda el último  el sexto factor antes de atacarlo debemos hacer un repaso de las raíces d'un polinomio de segundo grado.

Cuando este factor tiene la p comprendida entre 0 y uno sucede un efceto curioso que cabe a destacar analizemoslo con profundidad.

Observamos que amedida que amunta la p y se acerca a 0 obtenemos más ganancia esto fenomeno lo llmaremos pico de resonancia.

Observamos que este circuto es extramadamente sensible a una determinada frecuencia

A simple vista observamos que cuando p <0,5 se produce pico de resonancia.

Estudiemos este fenomeno más a fondo. Empezamos calculemos la gancia cerca de la frecuencia de corte para saber con que rapidez vuelve hacia el trazado asintótico (como habíamos hecho antes).

Velve aparecer la ganancia de -3dB recordamos que eso implica multiplicar H(S) por 0,707 que se puede considerar casi la unidad por lo tanto entre este rango de frecuencia se pude considerar que hay la misma ganacia que en el pico de resonancia (0,707·H(s)). Este intervalo de frecuencias tiene un nombre propio de lo importante que es y es el ancho de banda y se expresa con BW y si p<0,1 será igual a:

Finalmente para terminar la explicación del pico de resonancia debemos introducir el concepto de factor de Calidad Q que es una relacion de la frecuenca de corte y el ancho de banda y nos sirve para distinguir que pico de resonancia es más bueno que otro cuando más elevado sea mejor

Recogiendo lo aprendido de estte ultimo y más interesante factor podemós decir a frecuencias bajas respecto a la de corte la salida es igual que a la entrada y a frecuencias elevadas respecto a la de corte la la salida será irrisoria porque tenemos una recta decreciente de pendiente -40.

Y a el dato curioso a la frecuencia de corte si el parametro p es inferior a 0,5 se produce un pico de resonancia y si es inferior a 0,1 sabemos que el pico es de Gdb=14dB y además que su Ancho de Banda es el coeficiente de S BW=2pwo