Las apariencias engañan

VEINTE VECES EL LOGARITMO DEL COCIENTE DE LA SAILDA ENTRE EL MODULO DE LA ENTRADA.
Como complicarnos la vida de esta forma puede llegar a simplificar las cosas y nos puede servir ¡Y no solo eso! sino que además, ¡Será una de las llaves del conocimiento de los circuitos lineales! Pero no nos avancemos, primero hacemos un repaso para poder avanzar. 

Recopilando venimos de aprender el concepto de función de red que caracteriza el comportamiento de un circuito al detalle, aprendimos que en el mundo real la mayoría de aparatos necesitan una potencia para su buen funcionamiento con esto introdujimos el concepto de potencia que nos llevo a ver las lineas de transmisión que permitía la conexión de elementos a largas distancias (fenómeno que viola las cotas donde se cumplían las leyes de Kirchhoff ) perdiendo muy poca potencia pero que solo eran validos en caso de que conectáramos una impedancia igual a la característica de la linea. Entonces se nos presentó el problema de que en el caso que no tuviésemos esa impedancia no servia, pero descubrimos el transformador capaz de convertir esa resistencia en la que nosotros deseáramos. 

Visto de donde veniamos volvemos a retomar la función de red, recordamos que era un cociente de polinimios que nos dava la relación entre la salida y la excitación de un circuito. Y que simplemente si queríamos Vo sabíamos que será una función del mismo tipo que la entrada una senoide porque estamos en RPS de amplitud el modulo de la excitación por el modulo de la función de red y el desfase de la salida será el desfase de la entrada menos el desfase de la función de red. Dicho esto si nos piden Vo a cierta frecuencia simplemente tenemos que sustituir en Vo por dicha frecuencia y obtendremos su valor. Pero y si te dijera que hay una forma más rápida e intuitiva de encontrarla. En este nuevo tema lo intentaremos explicar.

La idea principal será conseguir las curvas de respuesta frecuencial del circuito, es decir, representar gráficamente el modulo de la función de red  en función de la frecuencia y representar el argumento de la función de red en función de la frecuencia.

Por ejemplo el filtro paso bajo que tantos veces hemos explicado anlaizamos que a frecuencias elevadas  es decir mucho más altas que la frecuencia de corte 1/2πRC la salida era 0 y frecuencias altas el circuito dejaba la salida igual que la entrada. simplemente dando valores a la función vamos obteniendo el trazados, pero esto es un poco laborioso. Vamos a descubrir de hacerlo de una forma más rapida e int

  

Previo paso a esto necesitamos saber que para hacer un representación gráfica uno se sirve de escalas la más común es la escala lineal (relación matemática entre una cantidad física y el propio valor ) pero también hay otras escalas como por ejemplo la logarítmica que es la que vamos a utilizar y emplea el logaritmo de la cantidad física en lugar de la propia cantidad.

En esta representacion el intervales canvian y van en decadas (es decir las unidades van de 10 en 10 y no existe un 0 en el origen).Pues bien, ya podemos empezar.

Pues bien lo primero es aprender a representar la función de red en otro formato en lo que llamaremos diagrama de polos y ceros. Sencillamente este procedimiento consiste en descomponer el numerador y el denominador de la función de red en un producto de (s-a) siendo a raíz del polinomio. 

También incorporamos un detalle de notación a las raíces del denominador las llamaremos Ceros (Z) y las del denominador Polos (P).

Conseguido esto el siguiente paso es construir un plano complejo (solo recordar los raíces complejos siempre van acompañadas de su conjura) donde situaremos esos P con una X y Z con un 0 

Con esto en realidad estamos encontrado las frecuencias que llamaremos criticas en las cuales pasa algo interesante.Pongamos un ejemplo de esto:

Entendido esto, veamos como conseguir la tierra promesa de como conseguir la respuesta frecuencial del circuito de forma fácil e intuitiva. Para ello nos apoyaremos en un ingeniero, investigador e inventor llamado H.W.Bode. muy conocido en Telecomunicaciones y en sistemas de control que propuso el diagrama de Bode.

Bode nos propone representar veinte veces el logaritmo de la función de red (a lo que llamaremos ganancia del circuito y sus unidades son dB y se expresará así: GdB) respecto el logaritmo de la frecuencia. Con esta transformación consigue que la representación de la respuesta frecuencial del circuito se reduzca a un conjunto de lineas rectas. Si la GdB es positiva es que el circuito amplifica la tensión de entrada y por contra si es negativa atenúa.

Vamos a ver un ejemplo a ver si es verdad que se simplifican las cosas. ¿Que conseguimos obteniendo el trazado de Bode?Pues ahora lo veremos en el ejemplo: 

Supongamos que tenemos ya el trazado de Bode

Bien ya sabemos que es trazado de Bode y como es de útil y como nos servirña nos falta ver como construir-lo.

Podríamos afirmar que todas las funciones de red (que son cocientes de polinomios) las podíamos expresar de otra forma tal que la función se pudiese descomponer en esta serie de factores:

 Así que construyendo el trazado de Bode de estas pocas podremos hacer el trazado de Bode de cualcuier otro circuito sin necesidad de repetir el procedimiento de ahora sino identificando las partes de estas funciones elementales y gracias a la propiedad del logaritmo que el producto se convierte en suma sencillamente será sumar los trazados conocidos de estas funciones.

Vamos a ver el trazado de Bode de la primer factor.

 

En cuanto el desfase va ser ortra constante igual.

Veamos otro más interesante segundo factor.

Entonces su trazado de Bode será

Con una demostrcion sencilla se demuestra que el tercer factor  H(S)=KS es una recta de pendiente positivo 20dB/deca siguiendo el mismo procedimiento anterior. En este caso el desfase será una recta de -π/2

El Bode del cuarto factor ya es más interesante veámosla.

Y el desfase será: 

Por desgracia nuestra el trazado de Bode no es perfecto. Si  nos hemos fijado hemos estado buscando los circuitos asintomáticos cuando la frecuencia era muy superior a la de corte y muy inferior entonces estaremos de acuerdo que el máximo error estará en la frecuencia de corte. Entonces vamos a observar en realidad que error hay en la frecuencia de corte. Observemos si es importante.

Podemos concluir que hay un pequeño error de 3dB eso implica una H(s) multiplicada 0,707 eso se considera casi uno y que la tangencia con el trazado asintotico se produce muy rápidamente, por lo tanto Bode será una herramienta muy potente, útil, y con pocos errores.

Respecto a los trazados de fase no podemos decir lo mismo no va a ser una herramienta tan útil. 

En la siguiente imagen se presenta la respuesta frecuencial de un circuito tiene la función de red de la misma estructura que este factor fc=1kHz wc =2πfc 

Vamos a ver el quinto factor tambien muy parecido a este.

Con el argumento seguimos el mismo procedimiento.

Ya terminamos nos queda el último  el sexto factor antes de atacarlo debemos hacer un repaso de las raíces d'un polinomio de segundo grado.

Cuando este factor tiene la p comprendida entre 0 y uno sucede un efceto curioso que cabe a destacar analizemoslo con profundidad.

Observamos que amedida que amunta la p y se acerca a 0 obtenemos más ganancia esto fenomeno lo llmaremos pico de resonancia.

Observamos que este circuto es extramadamente sensible a una determinada frecuencia

A simple vista observamos que cuando p <0,5 se produce pico de resonancia.

Estudiemos este fenomeno más a fondo. Empezamos calculemos la gancia cerca de la frecuencia de corte para saber con que rapidez vuelve hacia el trazado asintótico (como habíamos hecho antes).

Velve aparecer la ganancia de -3dB recordamos que eso implica multiplicar H(S) por 0,707 que se puede considerar casi la unidad por lo tanto entre este rango de frecuencia se pude considerar que hay la misma ganacia que en el pico de resonancia (0,707·H(s)). Este intervalo de frecuencias tiene un nombre propio de lo importante que es y es el ancho de banda y se expresa con BW y si p<0,1 será igual a:

Finalmente para terminar la explicación del pico de resonancia debemos introducir el concepto de factor de Calidad Q que es una relacion de la frecuenca de corte y el ancho de banda y nos sirve para distinguir que pico de resonancia es más bueno que otro cuando más elevado sea mejor

Recogiendo lo aprendido de estte ultimo y más interesante factor podemós decir a frecuencias bajas respecto a la de corte la salida es igual que a la entrada y a frecuencias elevadas respecto a la de corte la la salida será irrisoria porque tenemos una recta decreciente de pendiente -40.

Y a el dato curioso a la frecuencia de corte si el parametro p es inferior a 0,5 se produce un pico de resonancia y si es inferior a 0,1 sabemos que el pico es de Gdb=14dB y además que su Ancho de Banda es el coeficiente de S BW=2pwo