Con el trazado de Bode hemos llegado a un punto que podemos caracterizar a cualquier circuito lineal con una representación gráfica sencilla. Podríamos pensar que que ya lo sabemos todo, pero debemos recordar que nuestro punto de partida era centrarnos en analizar circuitos excitados con funciones sinusoidades. Pues bien, ¿Que pasa si la señal no es sinusosidal? En este apartado lo descubriremos.
Para empezar, tenemos que decir que podremos analizar cualquier circuito lineal con una excitación periódica. Para conseguirlo vamos a utilizar un resultado de el matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que que descubrió que cualquier función periódica se puede descompone en una serie de funciones trigonométricas llamada Series de Fourier. Para entender esto podemos hacer un símil de esta descomposición de una función periódica en suma de sinusoides con la descomposición de la luz blanca mediante un prisma.
Captada la idea passemos a lo que nos inteeresa a los circuito, pero antes de esto debemos comprobar si es verdad esto que nos dice Fourier tras una fácil demostración observamos que el error cuadrático medio es muy pequeño y lo podemos hacerlo tan pequeño como queramos simplemente tomando tantos mas términos del desarrollos.
Pensemos ya en circuitos, que significará aplicar esto de forma circuital, pues bien, una función arbitraria seria un generador, pues bien se descompondrá en una serie de generadores y una fuente de tensión continua.
Entonces como queda esto de Fourier en los circuitos, queda una parte continua un coseno de cierta amplitud y de la misma frecuencia que la entrada más otro coseno de amplitud más pequeña que la anterior y de dos veces la frecuencia de la excitación, más otro coseno de menos amplitud que la anterior y de tres veces la frecuencia de entrada y así sucesivamente.
Llamaremos armónico a cada una de las diferentes sinusoides que sumamadas obtenemos la función original de la cual hemos hecho la serie de Fourier.
Llamaremos armónico fundamenta auqel que tiene la misma frecuencia que el de la excitación
Pasemos a ver Fourier des de otro punto de vista. El siguiente paso es lo que llamamos el procesado frecuencial.
Si recordamos lo que era una sinusoide es decir una función que tiene tres características que nos aportan información (Amplitud, Pulsación y Desfase) así que podemos representar la función en lo que llamamos representación espectral, es decir, dos ejes, el vertical será la amplitud y la frecuencia el horizontal.
Vamos a ver un ejemplo, una función cuadrada de amplitud de Vm i período To
Así es como encontramos la serie de Fourier de una señal periodica, este procedimiento lo llamaremos Desarrollo de la Serie de Fourier (DSF) y nos podriamos crear un biblioteca tal como esta:
Entendido esto como reconducimos esto a nuestro terreno. Pues bien cuando tenemos un circuito excitado por una función periódica primero hacemos el DSF de ésta después obtenemos la función de red H(S) conseguimos el Trazado de Bode del circuito y simplemente para obtener en DSF de la salida será su Espectro de Amplitud con la mismas frecuencias que la entrada y la amplitud variará de la siguiente forma: la amplitud de la excitación a la frecuencia deseada multiplicando por el módulo de la función de red a esa frecuencia. Y su Espectro de fases mantendrá las frecuencias de la excitación y el valor de desfase a la frecuencia deseada será el desfase de la la excitación menos el desfase de la función de red a esa frecuencia.
Pero cuando sabemos cuando parar Fourier nos dice que si queremos más precisión que pongamos más términos. Pues bien en ingeniería siempre se considera despreciable dos ordenes de magnitud así es como cuando suceda que el armónica superior estas a dos ordenes de magnitud lo consideraremos nulo. Bien, si pasáramos el espectro de amplitud en dBµV consideraremos nulo cuando halla 30dBµV de diferencia.
Hagamos un ejemoplo real
Pues bien la exicitacion es una función cuadrada de 10V de amplitud primero vamos a hacer el DSF que ya hemos hecho su DSF general. Por lo tanto si sustituimos es:
Construimos el trazado de Bode que nos lo sabemos de memoria porque es un filtro paso bajo y obtenemos Vo tal y com dijimos anteriormente.
Pensondo un poco podemos pensar que todos los circuitos linaeles del mundo tendrán un comportamiento filtro paso bajo debido a que eliminaran más o menos las amplitudes de las frecuencias.
El esprctro de amplitud también se puede expresar en dBµV. Entonces recordando que dBµV+GdB=dBµV obtener Vo se simplifica a obtener el DSF de Vg el trazado de Bode y para obtener Vo simplemente sumarle la ganancia en dB GdB.
Entendido este problema ya sabríamos resolver cualcuier circuito lineal excitado con una función periódica
Finalmente nos quedaría introducir la relación señal-ruido entendiendo como señal aquel o aquellos armónicos de la tensión de entrada que queremos y ruido como la resta de armónico esta relación se expresa como
Esta relación sirve ara comprobar la calidad del proceso
Finalmente terminsar diciendo aplacaciones de lo que hemos aprendido con Fourier hemos descubierto que escondidas en todas las funciones periódicas hay una suma de una parte continua y una seré de senoides la primera de frecuencia la misma que la de la excitación y la siguiente dos veces esta frecuencia la tercera tres veces esta y así sucesivamente.
Entonces si sacoms rendimiento a esto podriamos obtener una senoide a partir de una cuadrada, para ello necesitariamos un circuito capaz de elimnar todas los harmonicos menos uno. Pensando un poco en seguida recordamos el filtro paso-banda, es decir un circuito que en su tazado de Bode sea 0 en los extremos menos en el armónico fundamental en que debe de haber un pico de resonancia, este circuito es posible gracia a un R y LC en paralelo.
esmentar aunque no sea exactamente de circuitos linales que podriamos construir un conversor AC-DC simplemente añadiendo un diodo con eso conseguimos elimanr la parte negativa. Y muy sencillo con un filtro paso bajo eliminamos todos los armonicos que no queremos pero no lo podemos conectar directamente porque hay el diodo y se disiparía potencia así que necesitamos un seguidor de tensión en medio. Además como la tension continua estaria dividida por la mitad del periodo (PI) y queremos la tensión de pico simplemente añadir un amplificador no inversor de k=3.
Resumiendo Fourier nos permite reconducir todos los circuitos excitados con una función periódica a lo que habíamos estudiado del RPS¿cómo? Descomponiendo dicha función como una parte continua y una serie de sumas de sinusoides de amplitudes decrecientes es decir la primera (armónico fundamental) tiene amplitud superior a la siguiente senoide, y además el armónico fundamental tiene la misma frecuencia que la excitación, el siguiente armónico dos veces esta y el tercer armónica tres veces la frecuencia de excitación. Esta descomposición queda reflejada en el espectro de amplitud y el de fase de una señal. Finalmente para comprobar la calidad de un circuito hemos aprendido la relación señal-ruido, 10 logaritmo del valor cuadrático medio de la señal entre el del ruido.
